El Infinito

 
¿Qué significan el cero y el infinito?
El Cero y el Infinito - más allá de los números, estos dos conceptos matemáticos han preocupado e inspirado a los matemáticos durante siglos. Pero también han inspirado a filósofos y artistas. 
Al Infinito le han llamado «el gran corruptor de las matemáticas»

 ¿Qué es lo que parece esta imagen: un agujero negro o una página en blanco?.  ¿Una espiral o el horizonte?
 ¿Qué es el cero? ¿Qué es el infinito?  ¿Cómo han sentido los matemáticos el cero y el infinito, qué relevancia tiene esto para la comprensión del universo que nos rodea?

ejercitemos la fuerza del cerebro

• Infinito Completo 27:57 06 may 2012  - 

          VIDEO MUY INTERESANTE QUE NOS ACERCA AL INFINITO

tres14 - Infinito
Fuente: http://www.rtve.es/alacarta/videos/tres14/tres14-infinito/1259543/
 1259543 infinito

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Los límites del infinito
http://www.rtve.es/television/20111124/limites-del-infinito/477697.shtml 

Algunas culturas han mostrado tener miedo al infinito; en la naturaleza hay números tan grandes que asustan; el infinito inspira a los artistas; el símbolo matemático del infinito nació en el siglo XVII; el teorema de los infinitos monos dice que si un mono se pone a escribir a máquina al azar durante un tiempo infinito, acabará por escribir toda la obra de Shakespeare.
Los seres humanos nos sentimos atraídos por la idea de las cosas sin terminar. Nuestra mente se desarrolló para ser capaz de imaginar el futuro y no sólo para experimentarlo. Por eso desde el comienzo de la Humanidad nos hemos preguntado si podemos vivir para siempre.
Si la conciencia sobrevive a la muerte o si el Universo tiene un final. Son cuestiones fundamentales en cuyo corazón late un concepto fascinante: el infinito. 

Aristóteles creía que podíamos contar ad infinitum pero descartó que el universo no tuviese fin.
 Aristóteles (384 a. C. – 322 a. C.) fue un filósofo, lógico y científico de la Antigua Grecia cuyas ideas han ejercido una enorme influencia sobre la historia intelectual de Occidente por más de dos milenios.
Aristóteles escribió cerca de 200 tratados (de los cuales sólo nos han llegado 31) sobre una enorme variedad de temas, incluyendo lógica, metafísica, filosofía de la ciencia, ética, filosofía política, estética, retórica, física, astronomía y biología. Aristóteles transformó muchas, si no todas, las áreas del conocimiento que tocó. Es reconocido como el padre fundador de la lógica y de la biología, pues si bien existen reflexiones y escritos previos sobre ambas materias, es en el trabajo de Aristóteles donde se encuentran las primeras investigaciones sistemáticas al respecto.
Entre muchas otras contribuciones, Aristóteles formuló la teoría de la generación espontánea, el principio de no contradicción, las nociones de categoría, sustancia, acto, potencia, etc. Algunas de sus ideas, que fueron novedosas para la filosofía de su tiempo, hoy forman parte del sentido común de muchas personas.
Aristóteles fue discípulo de Platón y de otros pensadores (como Eudoxo) durante los veinte años que estuvo en la Academia de Atenas, luego fue maestro de Alejandro Magno en el Reino de Macedonia, y finalmente fundó el Liceo en Atenas, donde enseñó hasta un año antes de su muerte.

Los cielos, sin embargo, se mueven de forma natural e infinita siguiendo un complejo movimiento circular, por lo que deben, conforme con la lógica, estar compuestos por un quinto elemento, que él llamaba aither ('éter'), elemento superior que no es susceptible de sufrir cualquier cambio que no sea el de lugar realizado por medio de un movimiento circular.

En el siglo XVI, el filósofo Giordano Bruno afirmó que el universo era infinito y que existirían otras muchas Tierras orbitando alrededor de estrellas como nuestro Sol.
Su idea enfureció a la Iglesia Católica y fue condenado y quemado en la hoguera. Sólo Dios podía ser verdaderamente infinito. En la contemporaneidad se cree que el universo está lleno de infinitos.

 El proceso de Giordano Bruno a cargo de la Inquisición romana. Relieve de bronce por Ettore Ferrari (1845-1929), Campo de' Fiori, Roma.
Giordano Bruno, nacido Filippo Bruno (Nola, Nápoles, 1548 - Roma, 17 de febrero de 1600) fue un astrónomo, filósofo, religioso y poeta italiano. Sus teorías cosmológicas superaron el modelo copernicano proponiendo que el Sol era simplemente una estrella, así como que el universo había de contener un infinito número de mundos habitados por seres inteligentes. Por su pensamiento teológico fue condenado por las autoridades civiles de Roma a morir quemado en la hoguera, al ser encontrado culpable por la Inquisición romana de herejía y panteísmo en el año 1600.

Los cosmólogos llevan décadas conviviendo con una teoría que dice que el espacio y el tiempo se originaron en el Big Bang, donde la temperatura, la densidad..., todo era infinito. Pero, ¿y si el Universo no fuera infinito? Nuevas teorías científicas intentan resolver esta cuestión. 
 En cosmología física, la teoría del Big Bang o teoría de la gran explosión es un modelo científico que trata de explicar el origen del Universo y su desarrollo posterior a partir de una singularidad espaciotemporal.

Técnicamente, este modelo se basa en una colección de soluciones de las ecuaciones de la relatividad general, llamados modelos de Friedmann- Lemaître - Robertson - Walker. El término "Big Bang" se utiliza tanto para referirse específicamente al momento en el que se inició la expansión observable del Universo (cuantificada en la ley de Hubble), como en un sentido más general para referirse al paradigma cosmológico que explica el origen y la evolución del mismo.

       Según la teoría del Big Bang, el Universo se originó en una singularidad espaciotemporal de densidad infinita matemáticamente paradójica. El espacio se ha expandido desde entonces, por lo que los objetos astrofísicos se han alejado unos respecto de los otros.

Curiosamente, la expresión Big Bang proviene -a su pesar- del astrofísico inglés Fred Hoyle, uno de los detractores de esta teoría y, a su vez, uno de los principales defensores de la teoría del estado estacionario, quien en 1949, durante una intervención en la BBC dijo, para mofarse, que el modelo descrito era sólo un big bang (gran explosión). No obstante, hay que tener en cuenta que en el inicio del Universo ni hubo explosión ni fue grande, pues en rigor surgió de una «singularidad» infinitamente pequeña, seguida de la expansión del propio espacio.
Desde el descubrimiento de la radiación de fondo de microondas, en 1965, ésta ha sido considerada la mejor teoría para explicar el origen y evolución del cosmos. Antes de finales de los años sesenta, muchos cosmólogos pensaban que la singularidad infinitamente densa del tiempo inicial en el modelo cosmológico de Friedman era una sobreidealización, y que el Universo se contraería antes de empezar a expandirse nuevamente. Ésta es la teoría de Richard Tolman de un Universo oscilante.

Un universo oscilante en el cual el estado primitivo denso y caliente del universo temprano deriva del Big Crunch de un universo similar al nuestro. El universo pudo haber atravesado un número infinito de big bangs y big crunchs. El cíclico, una extensión del modelo ekpirótico, es una variación moderna de esa posibilidad.

En los años 1960, Stephen Hawking y otros demostraron que esta idea no era factible, y que la singularidad es un componente esencial de la gravedad de Einstein. Esto llevó a la mayoría de los cosmólogos a aceptar la teoría del Big Bang, según la cual el Universo que observamos se inició hace un tiempo finito.
Prácticamente todos los trabajos teóricos actuales en cosmología tratan de ampliar o concretar aspectos de la teoría del Big Bang. Gran parte del trabajo actual en cosmología trata de entender cómo se formaron las galaxias en el contexto del Big Bang, comprender lo que allí ocurrió y cotejar nuevas observaciones con la teoría fundamental.
A finales de los años 1990 y principios del siglo XXI, se lograron grandes avances en la cosmología del Big Bang como resultado de importantes adelantos en telescopía, en combinación con grandes cantidades de datos satelitales de COBE, el telescopio espacial Hubble y WMAP. Estos datos han permitido a los cosmólogos calcular muchos de los parámetros del Big Bang hasta un nuevo nivel de precisión, y han conducido al descubrimiento inesperado de que el Universo está en aceleración.
El Universo actual parece estar dominado por una forma misteriosa de energía conocida como energía oscura. Aproximadamente el 70 por ciento de la densidad de energía del universo actual está en esa forma. Una de las propiedades características de este componente del universo es el hecho de que provoca que la expansión del universo varíe de una relación lineal entre velocidad y distancia, haciendo que el espacio-tiempo se expanda más rápidamente que lo esperado a grandes distancias. La energía oscura toma la forma de una constante cosmológica en las ecuaciones de campo de Einstein de la relatividad general, pero los detalles de esta ecuación de estado y su relación con el modelo estándar de la física de partículas continúan siendo investigados tanto en el ámbito de la física teórica como por medio de observaciones.
Más misterios aparecen cuando se investiga más cerca del principio, cuando las energías de las partículas eran más altas de lo que ahora se puede estudiar mediante experimentos. No hay ningún modelo físico convincente para el primer 10^-33 segundo del universo, antes del cambio de fase que forma parte de la teoría de la gran unificación. En el "primer instante", la teoría gravitacional de Einstein predice una singularidad gravitacional en donde las densidades son infinitas. Para resolver esta paradoja física, hace falta una teoría de la gravedad cuántica. La comprensión de este período de la historia del universo figura entre los mayores problemas no resueltos de la física.

Raúl Ibáñez y Manuel de León nos explican uno de los mayores desafíos a los que se ha enfrentado la Ciencia: dar sentido al infinito. Con Juan García-Bellido y Emilio Elizalde averiguaremos si infinito es la señal de que nos faltan piezas clave para entender la naturaleza última de la realidad. O si se trata de la solución a los problemas del origen y el destino de nuestra existencia.

Y además en este programa hablamos de:
Algunas culturas han mostrado tener miedo al infinito; en la naturaleza hay números tan grandes que asustan; el infinito inspira a los artistas;  el símbolo matemático del infinito nació en el siglo XVII; el teorema de los infinitos monos dice que si un mono se pone a escribir a máquina al azar durante un tiempo infinito, acabará por escribir toda la obra de Shakespeare

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El Infinito en la red

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1- Los científicos miden el Universo y llegan a la conclusión de que es mucho más grande que cuando se originó.

Ni finito ni infinito - David Whitehouse - BBC

Fuente: http://news.bbc.co.uk/

El universo tiene un ancho de por lo menos 156.000 millones de años luz, dicen los astrónomos.
Esta estimación fue hecha por una sonda espacial que se encuentra investigando la Radiación Cósmica de Fondo, también conocida como eco del Big Bang.
El eco contiene información de cómo era el cosmos en su juventud y cómo pudo haber sido su desarrollo.
El cosmos tiene 13.700 millones de años. Pero la expansión que experimentó después del Big Bang hace que los métodos tradicionales para medir las distancias, no puedan utilizarse en su caso.
Más complejo
El cálculo de su edad fue extraído mediante dos líneas de investigación: la edad de las estrellas y la expansión del universo.
Esto significa que las radiaciones que nos llegan de las primeras etapas del universo han viajado por más de 13.000 millones de años.
Pero la conclusión a la que se puede llegar mediante este cálculo -que el radio del universo es de 13.700 millones de años luz y que su ancho es de 27.400 millones de años luz- es incorrecta.

Según los astrónomos el universo es más complejo. Se ha ido expandiendo sin tregua desde el Big Bang cuando se originaron la energía, el espacio y el tiempo.
De acuerdo a Neil Cornish y sus colegas de la Universidad del Estado de Montana, en Estados Unidos, la distancia recorrida por la luz en los primeros años del universo es mayor debido a la expansión del mismo.
Para hacerse una idea más clara, trate de imaginarse al universo un millón de años después del Big Bang.
La luz viaja durante un año, cubriendo una distancia llamada año luz.
Pero en ese momento, el universo era aproximadamente mil veces más pequeño que ahora, con lo cual un año luz se ha prolongado ahora hasta llegar a convertirse en casi mil años luz.
Cuando se toma en cuenta esta expansión, el universo es mucho mayor de lo que se estimaba.
Ni finito ni infinito
A raíz de esta expansión, la radiación de los primeros años del universo no puede haber viajado a 78.000 millones de años luz.
Lo que significa que el punto de partida de una partícula de luz, un fotón, que llega hasta nosotros después de viajar por 13.700 millones de años, está ahora a una distancia de 78.000 millones de años luz.
Y ese es el radio del universo.
¿Confundido?
El nuevo cálculo fue hecho con información obtenida por la sonda Wilkinson de la Agencia Nacional para la Aeronáutica y el Espacio (NASA), que estudió la Radiación Cósmica de Fondo, formada 400.000 años después del Big Bang.
Las sutiles diferencias en la radiación de fondo, les permite a los astrónomos determinar la edad del universo y otros parámetros cosmogónicos.
Una implicancia que se desprende de este nuevo análisis es que la idea de que uno puede, teóricamente, mirar en una dirección y eventualmente verse la parte de atrás de la cabeza, es falsa.
Los investigadores buscaron en vano evidencias de que era posible ver múltiples imágenes de un mismo objeto en diferentes sitios en el espacio y el tiempo.
Según los científicos estadounidenses, la investigación no aporta evidencias de que el universo sea infinito pero tampoco finito.
Un poco confuso ¿no?

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2.- El sitio ATLAS DEL UNIVERSO - web fue diseñado para dar una idea de cómo es nuestro Universo. Hay nueve mapas principales, cada uno aproximadamente diez veces la escala del anterior. El primer mapa muestra las estrellas más cercanas y luego otros mapas alejándose lentamente hasta haber alcanzado el Universo visible. Seleccionamos tre mapas.

 ATLAS DEL UNIVERSO (2012)
Fuente: http://www.atlasoftheuniverse.com/

El Universo en un radio de 14 mil millones de Años Luz - El Universo Visible

El Universo visible tiene un radio de 14 mil millones de años luz simplemente porque tiene 14 mil millones de años de antiguedad. La luz de objetos mas distantes simplemente no tienen tiempo de llegar a nosotros. Por esta razon todo en el universo esta en el centro de su propio universo visible. El verdadero tamaño del Universo debe ser mucho mayor de la que conocemos. Cuan largo depende de si el universo es abierto o cerrado, y de si hay algo mas lejos capaz de frenar esta expansion. Si existiese esa barrera el Universo seria finito. De otra forma el Universo se expanderia para siempre, seria infinito en tamaño. Cualquiera de las posibilidades sea la correcta, es claro que el universo visible es sola la punta de un gran total.

El Universo en un radio de 50000 Años Luz - La Galaxia Via Lactea (Milky Way)

Este mapa muestra la Via Lactea - una galaxia espiralada con al menos 200 mil millones de estrellas. Nuestro Sol esta en lo profundo del brazo de Orion a 26000 años luz del centro galactico. En el centro, las estrellas estan mucho mas juntas que en nuestro sector. Note tambien la presencia de pequeños clusters globulares que estan ubicados fuera de nuestra galaxia y note tambien a la pequeña galaxia vecina - la Sagittarius Dwarf - que esta siendo tragada por nuestra galaxia.

El Universo en un radio de 12,5 Años Luz - Las Estrellas mas cercanas

 Este mapa muestra todas las estrellas que estan a una distancia de 12,5 años luz de nuestro Sol. Muchas de estas estrellas son enanas rojas - estrellas que poseen una masa diez veces inferior a la del Sol y menos de cien veces su luminocidad. El ochenta porciento de las estrellas del Universo son enanas rojas, y la estrella mas cercana - Proxima Centauri - es un ejemplo.

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3.- Si el Universo fuera infinito y hubiera infinita materia en él, se producirían curiosas y en cierto modo muy extrañas situaciones. Existirían con certeza matemática “dobles” o “copias” de nosotros mismos en alguna parte. Éste es uno de los peculiares análisis de The Infinite Book, libro del cosmólogo John D. Barrow.


 The Infinite Book
Fuente: http://www.microsiervos.com/
***** The Infinite Book: A Short Guide to the Boundless, Timeless and Endless. John D. Barrow. 330 páginas. Inglés.
Este curioso libro está dedicado a todos los aspectos del infinito, algo que en cierto modo ha convivido de forma cotidiana entre nosotros siendo estudiado por filósofos, matemáticos, cosmólogos y físicos. El infinito se reduce a veces a utilizar el símbolo ∞ como resultado de algunos cálculos, pero sobre él hay a veces más interrogantes que respuestas. ¿Existe realmente o es puramente una invención práctica? En esta obra el matemático de la Universidad de Cambridge John D. Barrow repasa prácticamente todas las apariciones del infinito en los más diversos ámbitos.
El libro hace un recorrido histórico para entender cómo el concepto de «infinito» fue tratado en cada época: estudiado, rechazado, analizado minuciosamente, abominado por muchos. A pesar de surgir de forma natural con solo enumerar hasta el fin la lista de números naturales (1, 2, 3… ∞) siempre fue un concepto esquivo. Durante siglos se rechazó, si bien había filósofos que lo contemplaban para ciertas cuestiones, mas no para todas. Matemáticamente, hasta el siglo XIX no se entendió en profundidad, gracias al trabajo del rebelde George Cantor que demostró la infinidad de infinitos y algunas de sus propiedades, haciéndolos más manejables y asequibles. En el libro también se explican algunas de las tradicionales paradojas matemáticas sobre el infinito y decenas de curiosidades, como el hecho de que todos los números estén contenidos en los infinitos decimales de Pi, los monos que aporrean máquinas de escribir de forma infinita y son capaces de reproducir las obras Shakespere o las innumerables referencias en la literatura, como por ejemplo la clásica Biblioteca de Babel de Borges.
La parte dedicada a la física y cosmología aplica las ideas del infinito a las leyes que gobieran el mundo: ¿Es el universo realmente infinito? ¿Es el tiempo infinito? ¿Existe algo infinitamente caliente, infinitamente denso o eterno? A cada cuestión le dedica una explicación y las diversas teorías o consecuenciass que tendría todo ello. Por ejemplo: si el universo fuera realmente infinito y contuviera una cantidad infinita de materia, existirían copias indénticas de todos nosotros en algún lugar, incluso copias completas del planeta Tierra y hasta de nuestra región observable del Universo con todo detalle. Lo mismo sucedería si el Universo fuera infinito en el tiempo o eterno: cualquier evento que fuera posible según las leyes de la física con una probabilidad mayor que cero (aunque fuera ínfima) habría de producirse: de hecho se produciría infinitas veces y sería infinitamente frecuente.
Todo eso además tendría extrañas conclusiones éticas particularmente incompatibles con la mayor parte de las creencias religiosas. Los físicos tienen teorías alternativas para explicar por qué el universo podría parecer infinito sin serlo realmente (más bien inabarcable) y tienen acotada la cantidad de materia que existe y el tiempo que lleva existiendo y existirá, si bien tampoco está claro si el final será una destrucción completa (big crunch), un eterno enfriamiento ni si existen otros universos paralelos (tal vez muchos, tal vez infinitos) en cierto modo inalcanzables, pero que están ahí.
Otras ideas curiosas que explora el libro son las de los ordenadores infinitamente poderosos, que pueden realizar cálculos infinitos, la vida infinita o inmortalidad, la eternidad y los viajes en el tiempo y cómo se ha analizzado todo esto a lo largo de la historia. The Infinite Book es realmente un viaje fascinante a la cuestión más grande sobre la que puede pensar el ser humano.

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 Todos los números están en Pi  (Fuente: http://www.microsiervos.com/)
O no. Manolo escribó preguntando sobre la veracidad de esta afirmación que hice relativa al número π en el post sobre el buscador de teléfonos en Pi 
Naturalmente, todos los números están en algún lugar de π, igual que todos los libros están en algún lugar de la Biblioteca de Babel.
Esto viene a decir que no sólo los números de teléfono, sino cualquier número que elijas, está en algún lugar de la «ristra» de decimales de π. Eso incluye este mismo post si convirtiéramos las letras en números (A=1, B=2 etc.) o a una secuencia en binario (100101…) o cualquier otro formato numérico. El texto del post estaría en algún remoto lugar de los decimales de π, tal vez muy, muy escondido… Al igual que estaría este mismo post con pequeñas erratas o variaciones, o diciendo cosas totalmente diferentes. Y lo mismo con cualquier otro post, o un blog completo, o con el post que voy a escribir mañana (aunque todavía no sé cuál es). O incluso cualquiera de los textos completos de los libros que se han escrito o que se escribirán en la historia del a humanidad. Curioso, ¿no? Lo cierto es que no sé por qué esto es así, o más bien si está demostrado matemáticamente. Pero es lo que recuerdo haber leído en varios libros: que por las características de π, como número irracional y a la vez transcendente, con infinitos decimales, tiene esa propiedad. Creo que otros números similares también la tienen, aunque por ejemplo no todos los irracionales «funcionan» igual (el número 0,10100100010000… es irracional pero no tiene esa propiedad). Los dígitos de π parecen estar repartidos aleatoriamente y no construidos de una forma particular, de modo que en sus infinitos decimales se pueden encontrar cualquier secuencia posible – o al menos eso tenía yo entendido.
Tal vez algún matemático de los que lee Microsiervos nos pueda sacar de dudas y enviar algún artículo o explicación sobre si esto es así realmente o no lo es, o si lo es en parte y por qué, o si está demostrada una cosa, o la contraria… o ninguna de las dos (se puede usar el formulario de contacto.) Publicaremos la respuesta tan pronto como la averigüemos, Manolo iba a escribir en algún foro para preguntar.
Por cierto; ayer volviendo a ver Pi, fe en el caos me di cuenta que en la pantalla del título cuando aparece el número π y empiezan a escribirse todos los dígitos están mal a partir del noveno decimal. A ver si hago una captura y lo pongo por aquí. (Actualización: hecho, Pi (el número) está mal en Pi (la película).)
Actualización: Lawen nos pasó un enlace Mensajes ocultos en pi de Tio Petros (uno de nuestros «matemáticos aunque no hagan matemáticas» favoritos) que viene a explicar que la afirmación es cierta y que se debe a que π es a la vez transcendente y normal (aunque esto último está todavía por demostrar, pero parece casi seguro), y a que sus dígitos están distribuidos hasta donde se conocen de forma aleatoria.

(…) Admitamos la conjetura de normalidad en pi. La infinita ristra de dígitos de la expansión decimal es aleatoria, en el sentido de que tiene las mismas propiedades que una ristra conseguida al azar. Es muy fácil demostrar que un suceso de probabilidad mayor que cero llega a producirse si se efectúan suficientes pruebas, de hecho, se produce infinitas veces si las pruebas son infinitas (…) Así pues, podemos asegurar que tal secuencia existe realmente en algún sitio dentro de pi. Lo extraordinario sería que no existiera, suponiendo la normalidad de pi. (…) Así pues, la codificación completa de «Lo que el viento se llevó» en estéreo y en idioma bantú está dentro de pi, además está infinitas veces, incluso con finales espurios en los que los protagonistas se quedan juntos. También está el número de la lotería de la semana que viene, la historia universal del siglo XXII, y este mismo artículo que estoy escribiendo ahora.

Y aparte de la explicación matemática, también un sabio consejo:

Decididamente, pi es fascinante, pero no es en la posible existencia de mensajes ocultos donde reside la fascinación.

La respuesta definitiva a la pregunta de Manolo sería por tanto que la afirmación «todos los números están en Pi» es cierta si se admite que π es «normal», es decir, que en su interior los bloques de dígitos aparecen tan a menudo unos como otros, y además en cualquier base posible. Pero «la normalidad de π» es todavía una de las cuestiones abiertas acerca del famoso número. Parece que lo más probable es que π sea normal y por tanto que la afirmación sea acierta, pero no se puede asegurar con total certeza. Por otro lado, Jorge nos cuenta que un reciente post que tituló La biblioteca de Babel habla sobre el relato de Borges y menciona un artículo de Scientific American del que ya habló PJorge en Universos paralelos sobre por qué podría ser cierto que existan infinitas Tierras en Universos paralelos, bastasnte curioso también y relacionado con todo esto.
Curropar de Camyna da una explicación menos geek que le contó su profesor de matemáticas:

La explicación menos geek para este fenómeno es la que me dió una vez un profesor de matemáticas: «si pones a infinitos monos a aporrear cada uno una máquina de escribir, alguno de ellos escribirá El Quijote.» Aunque la mayor parte de los monos sólo conectará letras sin ningún sentido, seguro que serás capaz de encontrar alguno que ha escrito obras cumbres de la literatura universal (…) ¿Por qué no? Al fin y al cabo, infinitos monos son muchos monos.

Esto nuevamente supone que en la infinitud de dígitos de pi el compartamiento de los dígitos al azar es «normal» estadísticamente hablando. Actualización (28 de febrero de 2006): Tio Petros le da otra vuelta de tuerca al asunto:

Leyendo el artículo de título igual al de mi comentario excepto en la interrogación final se me ha ocurrido una vuelta de tuerca al asunto: bajo hipótesis de normalidad de π, todos los números naturales (finitos en su expresión decimal) están en pi, pero, ¿y los irracionales? ¿Y el propio π? Es sorprendente, pero la respuesta es NO. Si π estuviera dentro de π, por ejemplo, a partir de su decimal n-ésimo, tendríamos que a partir del 2n-ésimo decimal volvería a repetirse y así sucesivamente, con lo que tendríamos un número periódico y por lo tanto racional. Así pues, no todo número está en π. Y sin embargo sí está todo mensaje posible codificado de la forma que se quiera (la historia universal contaba en albanés, por ejemplo, y pasada a codificación decimal de la forma que se quiera), a condición de que sea finito.

Actualización: En LiterLaberinto puede leerse completo el relato La Bibloteca de Babel (vía El Forastero).

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4.- Video de la instalación Beyond Infinity del arquitecto francés Serge Salat que intenta representar la noción de infinito. El arquitecto combina luz LED, música y objetos fractales para producir un espacio virtual, en donde se pierde la noción de dimensión al multiplicarse todo a través de los espejos.

serge salat: beyond infinity by designboom Plus  - video tour through the space

the immersive installation by french artist and theorist serge salat interweaves mirrors, light, music, and fractal art in an architecture that conflates visitors' perceptions of space and time.
full article coverage at: designboom.com/weblog/cat/10/view/16645/serge-salat-beyond-the-infinity-immersive-installation.html

"más allá del infinito ', es una instalación multisensorial crada por el artista y teórico francés Serge Salat, entreteje mediante espejos, luz, música, y arte fractal en una arquitectura que combina las percepciones de los visitantes del espacio.

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  EL INFINITO Y LAS MATEMATICAS

Infinito - Wikipedia

Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Infinito
Ver recopilación de artículos matemáticos relacionados con las Matemáticas, subidos a SCRIBD

Infinito

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  ... las modernas ideas de Georg Cantor sobre el infinito ofrecen un espacio maravilloso para los matemáticos y filósofos.  ... su método muestra argumentos de que hay ordenes superiores de infinitud.

 Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (San Petersburgo, 3 de marzo de 1845 - Halle, 6 de enero de 1918) fue un matemático alemán, inventor con Dedekind y Frege de la teoría de conjuntos (en 1874 apareció su primer trabajo sobre la Teoría de conjuntos.), que es la base de las matemáticas modernas. Gracias a sus atrevidas investigaciones sobre los conjuntos infinitos fue el primero capaz de formalizar la noción de infinito bajo la forma de los números transfinitos (cardinales y ordinales).
Vivió aquejado por episodios de depresión, atribuidos originalmente a las críticas recibidas y sus fallidos intentos de demostración de la hipótesis del continuo, aunque actualmente se cree que poseía algún tipo de "depresión ciclo-maníaca". Hoy en día, la comunidad matemática reconoce plenamente su trabajo, y admite que significa un salto cualitativo importante en el raciocinio lógico.
En cuanto al estudio de los conjuntos infinitos, que fue considerado por su maestro Kronecker como una locura matemática, Cantor descubrió que aquellos no tienen siempre el mismo tamaño, o sea el mismo cardinal: por ejemplo, el conjunto de los racionales es enumerable, es decir, del mismo tamaño que el conjunto de los naturales, mientras que el de los reales no lo es: existen, por lo tanto, varios infinitos, más grandes los unos que los otros. Entre estos infinitos, los hay tan grandes que no tienen correspondencia en el mundo real, asimilado al espacio vectorial R³.
Este hecho supuso un desafío para un espíritu tan religioso como el de Georg Cantor. Y las acusaciones de blasfemia por parte de ciertos colegas envidiosos o que no entendían sus descubrimientos no le ayudaron. Sufrió de depresión, y fue internado repetidas veces en hospitales psiquiátricos. Su mente luchaba contra varias paradojas de la teoría de los conjuntos, que parecían invalidar toda su teoría (tornarla inconsistente o contradictoria en el sentido de que una cierta propiedad podría ser a la vez cierta y falsa). Además, trató durante muchos años de probar la hipótesis del continuo, lo que se sabe hoy que es imposible, y que tiene que ser aceptada (o rehusada) como axioma adicional de la teoría. El constructivismo negará este axioma, entre otras cosas, desarrollando toda una teoría matemática alternativa a la matemática moderna.
Empezó a equiparar el concepto de infinito absoluto (que no es concebible por la mente humana) como Dios, y escribió artículos religiosos sobre el tema.



El conjunto de todos los naturales, ℕ, es pues el primer ordinal infinito, lo que no debería sorprender, y lo notamos en este contexto ω (omega).

Representación del ordinal ω^ω. Cada vuelta alrededor de esta espiral representa una potencia entera de ω: la primera contiene a los números naturales 0, 1, 2, ... La segunda llega hasta ω² pasando por cada ordinal ω·m + n, con m, n naturales; la tercera llega hasta ω³ pasando por cada ordinal ω²·m + ω²·n + p; etc.

Hipótesis del continuo. La colección de todos los conjuntos de números naturales P(N) tiene la llamada potencia del continuo: tantos elementos como (por ejemplo) puntos en una recta. Su estudio es uno de los principales problemas en la teoría de conjuntos.

 

Cantor set, a fractal, presentado en siete iteraciones.

 

Fractal que representa el conjunto de Cantor en tres dimensiones.

  La gráfica de la función de Cantor en un intervalo unitario

La función de Cantor es un ejemplo de función que es continua, pero no absolutamente continua. También se le conoce como la escalera del diablo

Georg Cantor, ese corruptor de la juventud.

http://laberintos.itam.mx/files/261.pdf

 

 

Sobre la AritmeticaTransfinita de Cantor

SobreLaAritmeticaTransfinitaDeCantor

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Brief History of Infinity: The Quest to Think the Unthinkable - en Amazon

 A brief history of infinity: the quest to think the unthinkable by Brian Clegg
Breve historia del infinito: la búsqueda de pensar lo impensable - por Brian CleggEl infinito es simplemente el número más grande nunca considerado, incluso esta simple descripción ha causado problemas a los matemáticos de todos los tiempos. Desde los antiguos griegos a Newton, de Newton a los matemáticos de hoy en día como Cristian Claude y Boris Pavlov de Nueva Zelanda, el infinito, ha planteado problemas prácticos y conceptuales.
  El libro comienza con una breve descripción de cómo la mayoría de la gente ve hoy el infinito, a continuación, se examina cómo las secuencias de números continúan sin fin. Esto lleva a la percepción de los números por los antiguos griegos, y se considera la famosa paradoja de Aquiles y la tortuga. Pasa a las ideas que durante la Edad Media cristiana llegaron a igualar a Dios y el infinito, en el mundo real y en el más allá. Se ven las contribuciones de Galileo, Newton y Leibniz. Isaac Newton y Gottfried Leibniz, en particular, tuvieron una larga batalla por la invención del cálculo infinitesimal.
Cantor, que con el tiempo se volvió loco - posiblemente a partir de su investigación - tiene varios capítulos dedicados sobre la base de su trabajo. Formalizó la teoría de conjuntos, y al hacerlo, ha contribuido mucho a nuestra comprensión actual de infinito, como muestra de que hay más de un infinito y un infinito puede ser más grande que otro. También se explican los desarrollos más recientes, muchos de los cuales se basan en el trabajo de Cantor. El libro termina explicando otra paradoja - una forma que tiene un volumen finito, pero la superficie infinitaBreve historia del infinito hace lo que dice el subtítulo, la búsqueda de pensar lo impensable. Aunque se explican muchos de los conceptos matemáticos del desarrollo de nuestra comprensión de lo infinito, el énfasis del libro es sobre la historia, con unas breves biografías de muchos de los matemáticos importantes, dando cuenta de los conflictos en que estuvieron involucrados. Esto no quiere decir que el tratamiento de las matemáticas sea ligero -, aunque supone que el lector no tiene conocimientos previos, es más fácil de entender los conceptos involucrados, si  ya tiene una cierta comprensión de cómo obran  las matemáticas puras.
Completamente legible y accesible, explora el infinito en sus muchos aspectos intrigantes, desde sus orígenes ancestrales hasta su papel actual en el corazón de las matemáticas y la ciencia. El libro se nutre de la paradoja desafíando el sentido comúnn, examina las paradojas del infinito y los perfiles de los matemáticos que las afrontaron y definieron, dando cabida al misterio y la poesía de concebir lo inconcebible y definir lo indefinible. .
Detalles del libro:
    Breve historia del infinito: la búsqueda de pensar lo impensable, Brian Clegg
    edición de bolsillo - 299 páginas (2004) -  Constable y Robinson -  ISBN: 1841196509

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EL INFINITO Y LA FILOSOFIA 

Filosofía, Religión y Matemáticas en Cantor

 El concepto de la existencia de un infinito actual (actual infinity) era un tema importante para las matemáticas, la filosofía y la religión. La preservación de la ortodoxia de la relación entre Dios y las matemáticas, aunque no en la misma forma que en manos de sus críticos, fué mucho tiempo una preocupación de Cantor. Estudió la relación entre estas disciplinas en la introducción a su Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre, donde hizo hincapié en la conexión entre su punto de vista de lo infinito y el filosófico. Para Cantor, sus puntos de vista matemático, estaban intrínsecamente ligados a su implicaciones filosóficas y teológicas, identificó el infinito absoluto (Absolute Infinite) con Dios, y consideraba su trabajo sobre los números transfinitos como una revelación, comunicada directamente a él por Dios.
El debate entre los matemáticos surgió de los puntos de vista opuestos en la filosofía de las matemáticas en relación con la naturaleza del infinito real. Algunos consideran al infinito como una abstracción, que no es matemáticamente legítima, y se les niega su existencia. Tres grandes escuelas de pensamiento matemático, el constructivismo (constructivism) y sus dos corrientes, el intuicionismo (intuitionism) y finitismo (finitism) se opusieron a las teorías de Cantor en este asunto.

• Constructivismo (Constructivism): Kronecker, rechazo del infinito actual
• Intuicionismo (Intuitionism):  Brouwer y especialmente Poincaré se posicionan frente al trabajo de Cantor. Citando las paradojas de la teoría de conjuntos como un ejemplo de su carácter fundamentalmente defectuoso, Poincaré sostenía que "la mayoría de las ideas de la teoría de conjuntos cantoriana debe ser desterrada de las matemáticas una vez por todas."
• Finitismo (Finitism): Wittgenstein ataca a Cantor al considerar que confunde semánticamente la Intención (intension) de un conjunto de números cardinal o real con su Extensión (Extension),

Algunos teólogos cristianos vieron el trabajo de Cantor como un desafío a la singularidad de la infinidad absoluta de la naturaleza de Dios. En particular, los pensadores neo-tomistas (Neo-Thomist) veían la existencia de un infinito actual, como algo capaz de  poner en peligro el "derecho exclusivo de Dios a la suprema infinitud". Cantor estaba convencido de que este punto de vista era consecuencia de una mala interpretación del infinito, y estaba convencido de que la teoría de conjuntos podría ayudar a corregir este error.

 

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 Breve historia del infinito   Autor: FÉLIX F. MÉNDEZ

Fuente: http://www.filosofia.mx/

Desde Zenón hasta Cantor, la idea del infinito fue una amenaza para las matemáticas
Ya desde el mismo título empezamos a dar saltos mortales. Las palabras «breve» e «infinito» son extrañas compañeras de frase. ¿Se puede abreviar el infinito? ¿Cuál es el resultado de tal simplificación? ¿Medio infinito? ¿Existen infinitos a medias? ¿Cuántos números enteros existen?: infinitos. ¿Cuántos números pares existen?: infinitos, o sea, los mismos, puesto que si por definición nada puede ser mayor que el infinito, ningún conjunto puede ser más amplio que el de los números pares. Pero parece obvio que el conjunto de los números enteros supera al de los números pares. De ser distintos, habría que preguntarse cómo de grande es la diferencia. En este caso, el conjunto de los números impares, o sea, infinitamente grande.
Al infinito le han llamado «el gran corruptor de las matemáticas», cuanto toca lo vuelve venenoso y resbaladizo. A tal punto es un enemigo público que durante 2.500 años los propios matemáticos no han sabido muy bien qué pensar de él ni cómo tratarlo.
La animadversión hacia esta desafiante? «cosa» comenzó en el siglo V a.d. C. Entonces Zenón de Elea, célebre polemista discípulo de Parménides, enunció la paradoja de Aquiles y la tortuga: el atlético semidiós desafió a la tortuga a una carrera concediéndole cierta ventaja. Aquiles parte del punto A y el quelonio del punto B. Lo primero que debe hacer Aquiles es ir de A a B. Por rápido que se mueva, algo de tiempo debe emplear, y la tortuga, por despacio que avance, algo de camino hará en ese tiempo. Ahora Aquiles está en B y la tortuga en C, con lo que el mismo razonamiento vuelve a empezar y lo hará infinitas veces. Concluiremos que Aquiles nunca ganará (ni empatará) la carrera por pequeña que sea su desventaja inicial y por infinitamente cerca que en el transcurso de la competición llegue a estar de su rival.
Zenón, desquiciado, arguyó que no sólo el movimiento es imposible (sería ilusorio), sino que más vale no pensar en el infinito.
Eudoxo, matemático de Cnido, también luchó contra el infinito e ideó el método llamado exhaustación, que dio un respiro a la geometría. El problema de moda era el cálculo del área del círculo. La solución evidente: considerar el círculo como un polígono de infinitos lados infinitamente pequeños. Entonces el área buscada es la mitad del perímetro de ese polígono (la longitud de la circunferencia) multiplicado por su apotema (el radio de la misma). Como la longitud de una circunferencia es el doble del número Pi multiplicado por el radio, resulta que la superficie del círculo es el número Pi multiplicado por el radio elevado al cuadrado. Pero allí estaba otra vez el infinito. Aquellos lados eran infinitamente pequeños, ¿no debería ser cero su longitud? Y al sumar ceros, ¿no debería dar cero el perímetro del infinígono? Ahora bien, había infinitos lados, al sumar infinitas cosas, por pequeñas que sean, ¿no debería dar infinito el resultado? ¿Cuánto vale la suma de infinitos infinitésimos? ¿Cero o infinito? ¿Cómo puede dar un resultado intermedio, la conocida longitud, dos por Pi por el radio, de las circunferencias?
Fue el gran Arquímedes quien, usando el método de exhaustación, esquivó por una vez al infinito y, sin invocarlo, demostró la fórmula correcta para el área de un círculo.
Aun perdiendo alguna batalla, el infinito estaba ganando la guerra. Pitágoras vio con horror cómo se desmoronaba su estructura del mundo al descubrir que su propio y querido teorema demostraba la existencia de los números irracionales, poseedores de infinitos decimales aperiódicos. El dolor que causó en Pitágoras este descubrimiento fue insoportable y trató de mantenerlo en secreto. Cuenta la leyenda que mató a uno de sus discípulos por revelarlo.
Aristóteles abordó el caso y dio una solución muy en su estilo. Distinguió dos clases de infinito, el actual: existe en un cierto instante, y el potencial: su infinitud se extiende a lo largo del tiempo. Aquiles no tiene que atravesar una infinidad actual de tramos, sino una infinidad potencial, lo cual sí sería posible. Y como siempre, Aristóteles fue la ortodoxia durante 2000 años.
Tras la nada medieval, el mundo vio surgir a los gigantes. Gottfried Leibniz e Isaac Newton inauguraron el cálculo. Pero al tropezar con el infinito demostraron estar en el mismo atolladero que los griegos. Manejaban los infinitésimos tapándose las narices: ahora los consideraban entidades nulas, ahora no, según el caso. La circunferencia seguía siendo un polígono de infinitos lados infinitamente pequeños, es decir, intocable en rigor.
Hasta el siglo XIX el cálculo no salió de las cavernas. Agustin Cauchy y Karl Weierstrass desempolvaron el método de exhaustación y empezaron a dar a los matemáticos un cimiento estable.
Pero todo dragón tiene su San Jorge (y todo cerdo su San Martín). Así el infinito tuvo a Georg Cantor. Sin meternos donde no procede: un examen riguroso de las teorías de Cantor, diremos que la clave de su triunfo fue negar algo que bien parece obvio: el todo es más grande que cualquiera de sus partes. De hecho, definimos que un conjunto es infinito si no es mayor que alguna de sus partes. Cantor llegó a conclusiones que conmocionaron el pensamiento científico occidental y que, desde luego, van contra lo que podríamos llamar «sentido común del ciudadano de a pie»: no todos los infinitos son igual de grandes, ningún conjunto es tan grande como el conjunto de sus subconjuntos, no existe algo que pueda definirse como el conjunto de todos los conjuntos? Fue una manera de hablar, ya sé que el ente conocido como «ciudadano de a pie» no anda en estas cosas. Cantor terminó por idear los números transfinitos e incluso edificó una aritmética para ellos. No dejó atados todos los cabos, ni siquiera hoy lo están, pero después de Cantor los matemáticos tuvieron más fácil hacer camino y los filósofos más difícil mirarles por encima del hombro.
A lo largo del siglo XX ha habido repuntes de escepticismo entre filósofos y matemáticos al respecto de lo domado o salvaje que permanece el concepto de infinito. Uno de ellos, A. W. Moore, profesor de Oxford, qué más da si filósofo o matemático, llegó a escribir: «Podríamos afirmar que algunos infinitos son mayores que otros; y que el conjunto de los números pares es finito; incluso podríamos negar la existencia de los números pares». Y hasta hubo momentos de pesimismo ilustrado: «Sólo conozco dos cosas infinitas, el universo y la estupidez humana, y no estoy tan seguro de la primera» (Albert Einstein). Paradojas como la de Zenón han encontrado adecuada respuesta en la moderna matemática, pero ¿ha acabado la guerra entre el infinito y el intelecto del hombre o durará eterna? infinitamente?
Notas:
Fuente: http://www.lne.es/secciones/noticia.jsp?pRef=2009010800_66_714040__Cultura-Breve-historia-infinito
La Nueva España - Asturias, Spain.Jueves 08 de enero de 2009llllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll
Lo INFINITO en Dios y en matemáticas - Voltaire-Diccionario Filosófico
Fuente: http://www.e-torredebabel.com/Biblioteca/Voltaire/infinito-Diccionario-Filosofico.htm

INFINITO
I
¿Puedo tener alguna idea exacta de lo que es el infinito? Yo sólo lo comprendo confusamente. ¿Me sucede esto porque soy excesivamente finito? ¿Quién se explica lo que es andar siempre sin avanzar nunca, contar siempre sin llegar a hacer una cuenta, dividir siempre sin encontrar nunca la última parte? Paréceme que la noción del infinito está en el fondo del tonel de las Danaides.
Esto no obstante, es imposible que no exista el infinito. Está demostrado que ha transcurrido una duración infinita. Empezar a ser es absurdo, porque la nada no puede empezar algo. En cuanto vemos que un átomo existe, debemos deducir que hay algún ser que goza de la eternidad. He aquí, pues, un infinito de duración rigurosamente demostrado. Pero ¿qué es el infinito que pasó, el infinito que fijo en mi cerebro cuando quiero? Puedo decir: «He aquí una eternidad transcurrida; pasemos a la otra.» Distingo dos eternidades, una eternidad pasada y otra eternidad futura.
Cuando reflexiono lo que acabo de decir, me parece ridículo; me apercibo de que he cometido una tontería pronunciando estas palabras: «Una eternidad pasó, y entro en una nueva eternidad.» En el momento en que lo estaba diciendo, la eternidad duraba, la fluencia del tiempo corría, y no podía creerla pasada, porque la duración nunca se interrumpe. El infinito de la duración está, pues, atado con una cadena no interrumpida, y ese infinito se perpetúa hasta en el instante mismo en que yo digo que ha pasado. El tiempo empieza y concluye para mí; pero la duración es infinita.
He aquí, pues, un infinito confusamente definido, pero sin podernos formar de él una noción clara.
También suponemos un infinito de espacio; pero ¿qué entendemos por espacio? ¿Es un ser, o no es nada? Si es un ser, ¿a qué especie pertenece? Si no es nada, la nada no tiene ninguna propiedad, y decimos que es penetrable, que es inmenso. Soy tan ignorante, que no me atrevo a llamarle nada, ni sé decir lo que es; pero los hombres somos curiosos, y sabemos que existe el espacio. Nuestra inteligencia no alcanza a comprender ni la naturaleza del espacio ni su fin; le llamamos «inmenso» porque no podemos medirlo.
¿El universo es limitado? ¿Su extensión es inmensa? ¿Son innumerables los soles y los planetas? ¿Qué privilegio goza el espacio que contiene una cantidad de soles y de globos respecto a la parte de ese espacio que no los contenga? Que el espacio sea un ser o no sea nada, ¿qué dignidad alcanzó el espacio donde estamos para ser preferido a otros espacios'?' Si el universo material no es infinito, no es mas que un punto en la extensión; si es infinito, ¿qué significa el infinito actual, al que mi pensamiento puede siempre añadir?
Así como no podemos formarnos ninguna idea positiva del infinito de duración, ni del de extensión, tampoco podemos formarnos la del infinito en poder físico, ni aun en poder moral. Concebimos fácilmente que un ser poderoso organizara la materia, hiciera circular los mundos en el espacio y diera vida a los animales, a los vegetales y a los metales. Llegamos a sacar esta conclusión porque estamos convencidos de que todos esos seres son incapaces de haberse organizado a sí mismos, y convenimos en que ese gran Ser existe eternamente por sí mismo, porque no puede haber salido de la nada; pero no podemos descubrir su infinito en extensión, en poder ni en atributos morales.
¿Cómo hemos de concebir que tenga extensión infinita un ser que debe ser simple? Y si es simple, ¿cómo hemos de comprender su naturaleza? Sólo conocemos a Dios por sus efectos, pues por su naturaleza no podemos conocerle. Si no podemos tener idea de su naturaleza, es evidente que no podemos conocer sus atributos; cuando decimos que es infinito en poder, no tenemos más idea que la de que su poder es muy grande. Nada puede limitar el poder del Ser Eterno, que existe necesariamente por sí mismo. Esa verdad no puede tener antagonistas que la coarten; pero ¿cómo me probaréis que no está circunscrito su poder por su propia naturaleza?
En cuanto a sus atributos morales, sólo podemos conocerlos incompletamente tomando los nuestros por modelo; nos es imposible conocerlos de otro modo; pero ¿son acaso iguales o semejantes nuestras cualidades inciertas y variables a las cualidades del Ser Supremo? La idea que tenemos de la justicia puede decirse que no es mas que el interés ajeno que nuestro interés respeta. El pan que la mujer amasa con la harina cuyo marido sembró el trigo le pertenece. Un salvaje hambriento se apodera de ese pan y se lo lleva; la mujer dice que el salvaje comete una injusticia enorme, pero éste contesta tranquilamente que obra con justicia, porque no se han de morir de hambre él y su familia. No podemos, pues, admitir que la justicia infinita de Dios sea semejante a la justicia contradictoria de esa mujer y de ese salvaje.
Tenemos noción tan confusa de los atributos del Ser Supremo, que hay unas escuelas que afirman que posee el don de la presciencia, esto es, la previsión infinita, que excluye todos los acontecimientos contingentes, y hay otras escuelas que dicen que esa previsión de Dios no excluye la contingencia. Desde que la Sorbona declaró que Dios puede hacer que un palo no tenga dos extremos, que una cosa pueda ser y no ser al mismo tiempo, no sabemos ya qué decir, por temor a cometer alguna herejía. Lo único que puede afirmarse sin temor de ninguna clase es que Dios es infinito y que la razón del hombre es muy limitada.
II - Historia del infinito
Los primeros geómetras indudablemente se apercibieron, desde la undécima o duodécima proposición, que aunque andaban sin extraviarse caminaban por los bordes de un abismo, y que las insignificantes verdades incontestables que iban encontrando las rodeaba el infinito. Lo entreveían desde que averiguaron que por un lado del cuadrado no se puede medir la diagonal, y que las circunferencias de círculos diferentes pasan siempre entre un círculo y su tangente. El que únicamente deseaba averiguar la raíz del número 6 comprendía quo era un número entre dos y tres; pero por más divisiones que hacía, aunque siempre se aproximaba a la raíz, nunca conseguía encontrarla. Si suponían una línea recta cortando otra línea recta perpendicularmente, imaginaban ver que se cortaban en un punto invisible; pero si se habían de cortar oblicuamente se veían obligados, o a suponer un punto más grande que otro, o a no comprender la naturaleza de los puntos ni el principio de toda magnitud.
La inspección de un cono les maravillaba, porque su base, que es un círculo, contiene un número infinito de líneas. Su vértice es algo que difiere infinitamente de la línea. Si cortaban dicho cono paralelamente a su eje, presentaba una figura que se aproximaba cada vez más a los lados del triángulo que formaba el cono, sin ser el triángulo realmente. El infinito se encontraba en todas partes. ¿Cómo conocer el área de un círculo ni el área de una curva cualquiera?
Antes de la época de Apolonio, el círculo sólo se estudiaba como medida de los ángulos y para poder adquirir ciertos medios proporcionales, lo que prueba que los egipcios, que enseñaron la geometría a los griegos, fueron muy medianos geómetras, aunque eran astrónomos bastante buenos. Apolonio estudió el detalle de las secciones cónicas. Arquímedes consideró el círculo como una figura de infinidad de lados y relacionó el diámetro con la circunferencia, como la inteligencia humana puede imaginarlo. Cuadró la parábola; Hipócrates de Quíos cuadró las lúnulas del círculo.
Buscaron inútilmente los antiguos la duplicación del cubo, la trisección del ángulo, que son inabordables para la geometría ordinaria, y la cuadratura del círculo, que es imposible para toda clase de geometría. Encontraron algunos secretos en el camino que recorrieron, como les sucedió a los que iban buscando la piedra filosofal, como, por ejemplo, la cisoide de Diocles, la concoide de Nicomedes y la espiral de Arquímedes. Todo esto se encontró sin saber álgebra, sin ese cálculo que tanto ayuda a la inteligencia y que la dirige sin esclarecerla.
Digo sin esclarecerla, porque poniendo, por ejemplo, que dos aritméticos tengan que hacer una cuenta; que el primero la haga de memoria teniendo presentes todos los números, y el otro la haga sobre el papel siguiendo una regla de rutina, pero segura, que sólo le hace conocer la verdad que busca cuando llega al resultado, ésta es poco más o menos la corta diferencia que media entre el geómetra sin cálculo que examina las figuras y ve sus relaciones, y el algebrista que busca sus relaciones practicando operaciones que no hablan a su inteligencia.
Harriot, Viete, y sobre todo el famoso Descartes, emplearon los signos y las letras. Descartes sometió las curvas al álgebra, reduciéndolo todo a ecuaciones algebraicas.
En la época de Descartes, Caballero publicó en 1635 la Geometría de los invisibles, geometría nueva en la que los planos se componen de infinidad de líneas y los sólidos de Infinidad de planos, pero no se atrevió a pronunciar la palabra «infinito» en matemáticas, como Descartes no se atrevió a pronunciarla en física. Uno y otro usaban para designarlo la palabra «indefinido». Al mismo tiempo que en Francia tenía las mismas ideas Roberval, un jesuita de Brujas caminaba a pasos de gigante en esa misma dirección, por diferente camino. Ese jesuita es Gregorio de San Vicente, que tomando por punto de partida un error, y creyendo encontrar la cuadratura del círculo, encontró realmente cosas admirables. Redujo el infinito a relaciones finitas, y conoció el infinito en pequeño y en grande; pero sus descubrimientos se ahogaron en tres tomos en folio, que carecen de método, y el error palpable con que terminó su obra perjudicó a las verdades que encierra.
Seguíase buscando siempre cuadrar las curvas. Descartes se valió de las tangentes. Fermat, consejero de Tolosa empleó su regla de maximis et minimis, y Wallis en 1655 publicó atrevidamente la Aritmética de los infinitos y de las series infinitas en número. Lord Brounker se sirvió de esta obra para cuadrar una hipérbole. Mercator de Holstein tuvo gran parte en esta invención, pero se trataba de hacer con todas las curvas lo que Brounker intentó con éxito. Trataban entonces de encontrar un método general que sujetara el infinito al álgebra, como Descartes sujetó a ésta lo finito, y ese método lo encontró Newton a la edad de veintitrés años.
El método de Newton tiene dos partes, que se llaman cálculo diferencial y cálculo integral. El diferencial consiste en encontrar una cantidad más pequeña que ninguna asignable, la que, tomada una infinidad de veces, sea igual a la cantidad dada. El cálculo integral consiste en tomar la suma total de las cantidades diferenciales.
El célebre filósofo Leibniz y el profundo matemático Bernoulle han reivindicado cada uno de ellos el cálculo diferencial, pero es necesario ser capaces de inventar cosas tan sublimes para tener la audacia de atribuirse tal honor. Tres grandes matemáticos que buscan la verdad, ¿no es posible que la hayan encontrado? Torricelli, La Loubère, Descartes, Roberval, Pascal, ¿no han demostrado cada uno a su manera las propiedades de la cicloide? ¿No hemos visto muchas veces varios oradores tratando del mismo asunto utilizar los mismos pensamientos, pero exponerlos de diferente modo? Pues los signos que usaron Newton y Leibniz eran diferentes, pero sus pensamientos eran los mismos.
Desde entonces el infinito empezó a tratarse por medio del cálculo, y se acostumbraron insensiblemente a admitir unos infinitos mayores que otros. Este edificio tan atrevido asustó a uno de los arquitectos que lo construyeron: Leibniz llamó entonces incomparables a esos infinitos, y M. de Fontenelle, en su obra titulada Geometría del infinito, establece, sin pararse en contemplaciones, diferentes órdenes de infinitos, y debe estar muy seguro de lo que imagina para haberse atrevido a tanto.
 (1) Evangelio, cap.II.
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Rodolfo Mondolfo - El infinito en el pensamiento de la antigüedad clásica

Pensamiento /

Fuente: http://es.scribd.com/doc/33934974/Rodolfo-Mondolfo-El-infinito-en-el-pensamiento-de-la-antiguedad-clasica
Rodolfo Mondolfo - El infinito en el pensamiento de la antigüedad clásica

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Mathematical Infinity and Human Destiny HQ

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Subido por pbudnik el 31/01/2009

There are two approaches to mathematical infinity. It can be seen as defining limiting cases that can never be realized or as existing in some philosophical sense. These mathematical approaches parallel approaches to meaning and value that I call absolutist and evolutionary. The absolutist sees ultimate meaning as something that exists most commonly in the form of an all powerful infinite God. The evolutionary sees life and all of a creation as an ever expanding journey with no ultimate or final goal. There is only the journey. There is no destination. This video argues for an evolutionary view in our sense of meaning and values and in our mathematical understanding. There is a deep connection between the two with profound implications for the evolution of consciousness and human destiny. Learn more at http://WhatWillBe.com